Mass ei sõltu kiirusest!

Ilmar Ots

...aga paljud asjad, mis pole

valed, pole ka päris õiged.
Alan Marshall

"Ma suudan hüpata üle lompide"

Pärast relatiivsusteooria sündi valitses kaua arusaam, et mass pole mitte muutumatu, vaid suhteline, kiirusest sõltuv suurus. Nüüdseks on aga teadlaste ja pedagoogide enamiku arvamused massist muutunud. Sarnaselt Newtoni teooriaga peetakse praegu ka relatiivsusteoorias massi objekti sisemiseks, muutumatuks omaduseks. Miks ja kuidas selline pööre massi mõistes on tekkinud?

Newtoni mass

Massi mõiste toob füüsikasse kuulus inglane Isaac Newton (1643–1727) oma tuntud töös “Philosophiae naturalis principia mathematica” 1687. aastal. Newtoni mass on aine hulga mõõt. Ja aine hulk tuleneb nii keha suurusest kui aine tihedusest temas. Selline määratlus pole definitsioon, vaid pigem arusaam massist kui keha sisemisest omadusest. Mass on inertsi mõõt. Newtoni esimese seaduse järgi on keha kas paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt niikaua, kui temale ei mõju jõud, mis sunnib teda oma liikumisolekut muutma. Inerts on keha vastupanu jõule, tema “ laiskus”, püüd jääda senisesse liikumisolekusse, mitte lasta ennast kiirendada. Mida suurem mass, seda suurem on keha inerts. Liitkeha mass on tema osiste masside summa. Selle, teaduskeeles aditiivsusomadusega seondub ka massi jäävus. Ja veel kaks väga olulist Newtoni massi omadust. Ühest neist, sellest, et mass on gravitatsioonilise tõmbejõu allikas, allpool enam ei räägita. Kuid teise omaduse ümber, selle, et keha mass ei sõltu keha kiirusest, kogu alljärgnev jutt põhiliselt keerlebki. Aga kõik siin toodu, nii massi määratlus kui tema omadused, on igapäevaelus kui mitte lausa käegakatsutavad, siis ikkagi otseselt tunnetatavad. Ja niisuguste tavamõistusele “kuulekate” omadustega lastakse massil elada üle kahesaja aasta. Siis enam mitte.

Relatiivsusteooria kaks massi

Kahekümnenda sajandi algusaastateks on teadus otsapidi igapäevapraktikast üksjagu kaugemale läinud, jõudnud väljapoole inimtaju toimepiirkonda. Uute teooriate, Albert Einsteini (1879–1955) erirelatiivsusteooria (edaspidi lihtsalt relatiivsusteooria), ning tärkava kvantteooria põhimõtted ja neist tulenevad järelmid ei mahu enam “terve” mõtlemise raamidesse. Need teooriad, relatiivsusteooria varem, kvantteooria pikema aja jooksul, muudavad arusaamu massist. Ja muudavad oluliselt.

Siin teeme juttu massist relatiivsusteoorias. Alljärgneva seisukohalt on tähtis, et relatiivsusteooria tekkimisega muudetakse oluliselt kahte arusaama massist. Relatiivsusteooria ütleb, et mass mõõdab mitte aine, vaid energia hulka. Sest mass ongi tegelikult energia. Seda näitab Einsteini kuulus massi ja energiat siduv valem: E = mc². Ja umbes poolteise aastakümne jooksul pärast relatiivsusteooria sündi 1905. aastal kujuneb arusaam, et mass pole mitte muutumatu suurus, nagu Newton ütleb, vaid sõltub keha kiirusest. Ja kiirusest sõltuva ehk relatiivse massi mõistet hakatakse pidama relatiivsusteooria üheks põhiliseks tugitalaks. Sellele toetudes tehakse teadust, õpetatakse kõrgkoolides ja viljeldakse aimekirjandust. Aga läinud sajandi viiekümnendatest aastatest, ajast, mil elementaarosakeste füüsika muutub iseseisvaks ja tähtsaks teadusharuks, algab ometi Newtoni muutumatu massi rehabiliteerimine. Elementaarosakeste füüsikutele on relatiivne, kiirusest sõltuv mass üleliigne, ainult segav mõiste. Neile on tähtis vaid üks mass, mis iseloomustab elementaarosakesi, ja mida relatiivset massi kasutav teooria nimetab seisumassiks. Sellest johtuvalt jäetakse relatiivne mass “mängust välja”. 1960. aastatel algab vaidlus massi kahe erineva käsituse üle. 1980. aastate lõpuks kujuneb see akadeemiliseks sõnasõjaks. Nii relatiivse kui ka muutumatu ehk invariantse massi pooldajate leeris leidub “advokaate”, kelle arvates nende tõlgendus on ainuõige ja kasulik, vastaspoole oma aga kui mitte päris vale, siis vähemalt ebakorrektne ning raskusi ja segadusi tekitav. Ent sõja algusest saati on relativistid olnud invariantlaste füüsika ja matemaatika pinnal olevate argumentide tõrjeks kaitsepositsioonil. Ja praegu paistab küll, et nad on jäänud kaotajaks pooleks. Sest kiirusest sõltuva massi mõiste on teadlaste kirjatöödest juba mitukümmend aastat kadunud. Ja nüüdseks ka pedagoogikast valdavas osas välja tõrjutud. Allpool räägimegi Einsteini kuulsast valemist ja veel sellest, milliseks muutub relatiivsusteoorias üks koolikursusest tuntud Newtoni valem, mis sisaldab massi kui inertsuse mõõtu. Näitame, kuidas nende kahe valemi üks interpreteerimisviis viib relatiivsele massile ja teine säilitab kiirusest sõltumatu massi mõiste. Toome ka invariantse massi pooldajate põhiargumendid.

Mis on Einsteini kuulsa valemi sümbolite taga?

Einsteini valem, mis ütleb, et energia on mass korda valguse kiiruse ruut (vt valem 1), on kahtlemata kuulsaim ja tuntuim valem füüsikas. Niivõrd tuntud, et on muutunud massikultuuri osaks. Jõudnud isegi embleemina T-särkidele. Aga mis ikkagi seisab selle nii tuntud valemi sümbolite taga? Küsime seda isegi siis, kui tähistused on juba sõnadesse pandud. Selge on, et nii sümbolid kui sõnad määravad üheselt viimase teguri valemis – valguse kiiruse ruudu ehk valguse kiiruse korrutise iseendaga. Sest valguse kiirus on universaalne konstant c = 300 000 km/s. Iga vaatleja jaoks üks ja sama, sõltumata tema liikumisolekust. Aga energia ja mass? Kas valemi vasakul poolel on seisva keha energia? Või tähistab E keha koguenergiat, kus seisuenergiale lisandub keha kui terviku liikumis- ehk kineetiline energia? Vastustest neile küsimustele sõltub ka massi – sümbol m – tähendus. Kui E on seisuenergia, on mass valemis muutumatu suurus. Kui E taga nähakse koguenergiat, ei saa mass konstantne olla, sest kineetiline energia sõltub kiirusest, ning kasvab kiiruse suurenedes. Kuid siis peab ka mass võrduse paremal poolel sõltuma kiirusest ja kasvama kiiruse kasvades. Sest teine tegur c² võrrandi paremal poolel on konstant. Kui mass sõltub kiirusest, siis on ta relatiivsusteoorias samasugune suhteline suurus nagu aeg ja pikkus.

Vaatleja suhtes liikuv kell käib relatiivsusteooria järgi teatavasti aeglasemalt kui vaatleja oma ja keha pikkus lüheneb tema liikumise sihis. Ja nüüd siis paistab ka liikuva keha mass seisvale vaatlejale suuremana kui sama keha mass paigalolekus. Kui E taga on tõesti koguenergia, on Einsteini valem tegelikult samasus. See ütleb, et mass on energia ja energia on mass. Konstantne kordaja c² energia ja massi vahel asja ei muuda.

Albert Einstein ja Poola füüsik Leopold Infeld (1898–1968) ütlevad oma tuntud raamatus “Füüsika evolutsioon”, et nii energia kui mass on valuutad. Ainult et mass on kallis ja energia odav valuuta, sest vahetuskurss c² on väga suur. Aga võib valida ka mõõtühikute süsteemi, kus valguse kiiruse arvväärtus on 1. Siis on tegemist võrdväärsete valuutadega. Nii või teisiti, kas c arvväärtus on 300 000 või 1, kõik see ei muuda järeldust, et energia ja mass on ekvivalentsed, kui E tähistab Einsteini valemis koguenergiat. Aga viimast väidavadki relatiivse massi pooldajad. Valemit veidi ümber kirjutades saavad nad sellest massi definitsiooni: keha mass võrdub tema koguenergia ja valguse kiiruse ruudu jagatisega (2). Seisumassita läbi ei saada. Sellele vastab kiirusest sõltuval massiskaalal punkt, kus keha seisab. Seisva keha massi tähistatakse m₀-ga ja nullike tuleb lisada Einsteini valemis ka energiale, mis on siis seisva keha energia. Kiirusega liikuva keha mass avaldub seisumassi kaudu kinemaatilise ehk Lorentzi teguri γ abiga (3). Hollandi füüsik Antoon Lorentz (1853–1928) on klassikalise elektrodünaamika üks loojatest, kelle nime see tegur siis kannabki. Seisumassi ja kinemaatilise kordaja abil võib Einsteini kuulsa valemi nüüd anda uues kujus (4). Kinemaatiline tegur määrab massi käitumise kiiruse suurenemisel. Mass kasvab kiiruse kasvades ja muutub kiirusel c lõpmatuks. “Lohutuseks” massi “jooksutamise” eest jätavad relativistid rahule massi aditiivsuse: ka neil võrdub liitkeha mass osiste masside summaga. (Seoseenergiat me siin ei arvesta.) Mass on jääv suurus. Sest, kui isoleeritud süsteemi energia on jääv, ja mass on sama mis energia, peab ka mass olema jääv. Massituid osakesi relatiivse massi teoorias ei ole. Footonil on mass, mis võrdub footoni energiaga. Siin ei saa olla massi sõltuvust kiirusest, sest kõik footonid liiguvad valguse kiirusega. Energia ei sõltu kiirusest, vaid võnkesagedusest. Mida suurem sagedus, seda kopsakam energia.

Niisugune on relatiivse massi käsitus. Võrreldes Newtoni massiga on koos massi kiirusest sõltumatuse kaotamisega kaotatud ka massi kui keha sisemise omaduse mõiste. Sest keha kui terviku kiirus pole keha sisemine omadus, vaid tema omadus aja ja ruumi suhtes.

Teistmoodi interpreteerivad Einsteini valemit invariantse massi pooldajad. Nende arvates seisab sümboli E taga vaid seisuenergia E₀, mis tulebki valemis (1) E asemele panna (5). Kuigi Einsteini valem kehtib siis vaid seisva keha korral, ei vaja mass m indeksina nullikest, sest mingit teist massi ei olegi. Mass ei sõltu kiirusest ja läheb ka valemitesse, mis kirjeldavad liikuvat keha, ikka samana. Seisuenergia vajab indeksit, sest liikuvate kehade puhul energia muutub. Invariantse massi kontseptsiooni järgi ütleb Einsteini valem, et mass on seisva keha energia mõõt. Sellega defineeritakse mass kui keha seisuenergia ja valguse kiiruse ruudu jagatis (6). Invariantse massi korral on iga mass energia, kuid iga energia ei ole mass. Energia ja massi täielikku ekvivalentsust ei ole. Invariantne mass ei ole aditiivne. Liitkeha mass moodustub tema osiste massidest ja kõigi osiste kineetilistest energiatest. Nii sõltub liitkehade korral ka invariantne mass liikumisenergiast, järelikult ka kiirusest. Kuid mitte keha kui terviku liikumisenergiast, vaid tema osiste liikumisenergiast keha sees. Invariantse massi korral võivad eksisteerida ka massita osakesed. Praeguste teadmiste järgi on sellisteks osakesteks footonid.

Nii! Nüüd kordame eespool toodud küsimust. Kas Einsteini kuulsas valemis tähistab sümbol E koguenergiat või seisuenergiat? Nagu nägime, viib esimene juht vältimatult kiirusest sõltuvale massile, teisel juhul võib säilitada massi muutumatuse. Esimese interpretatsiooni taga on relatiivse, teise taga invariantse massi pooldajad. Kummal poolel on tõde? Kes ütleb?

Mida ütleb Einstein ise

Miks mitte valida vahemeheks Einsteini ennast? Teeme seda. Aga Einsteini varasemaid töid vaadates selgub, et ta ei ole hea kohtunik. Tema massi interpretatsioonis 1905. aasta sügisel ajakirjas Annalen der Physik ilmutatud pioneerlikus artiklis “Kas keha inerts sõltub tema energiasisaldusest” ei saa olla kahtlusi. Siin toob ta sisse seisuenergia mõiste ja võtab selle ekvivalentseks massiga. Aga järgmisel aastal samas ajakirjas ilmutatud artiklis, mida autor peab eelmise aasta töö edasiarenduseks, räägib Einstein energia ja massi täielikust ekvivalentsusest. Aasta edasi ja uus töö. Siin on mass taas ekvivalentne vaid seisuenergiaga. Kuid veel neli aastat hiljem ilmunud töös võidutseb jälle relatiivne mass! Einstein ei ole oma interpretatsioonides sugugi järjekindel. Ja sellega varustab autoriteedi arvamusega mõlemaid hilisemaid vaidluspooli. Paistab, et vanuigi on relatiivsusteooria looja siiski võtnud kindla, invariantset massi toetava positsiooni. Einsteini 1948. aastal teadusajakirjanik Lincoln Barnettile saadetud kirjas on read: “Ei ole hea rääkida liikuva keha massist

kuna M jaoks ei ole selget definitsiooni. Parem on piirduda seisumassiga m. Lisaks sellele, kui tahetakse näidata liikuvate kehade inertsiaalset käitumist, võib kasutada impulsi ja energia avaldisi.” Selge positsioon! Aga kirja saatmise ajaks oli kiirusest sõltuv mass juba täielikult relatiivsusteooriasse imbunud, muutunud pea üldiseks arusaamaks. On avaldatud arvamust, et kui Einstein juba oma varasemates töödes oleks hoidnud järjekindlalt kinni invariantse massi mõistest, poleks arusaama massist kui relatiivsest suurusest tekkinudki. Kas asi oleks nii kujunenud, on siiski kahtlane. Ajal, mil võis veel massi mõiste kujunemissuunda muuta, oli Einstein küll populaarne, kuid tema relatiivsusteooriad polnud veel teadlaskonnalt täit tunnustust saanud. Kõnekas on fakt, et Einsteinile ei antud ei eri- ega üldrelatiivsusteooria loomise eest Nobeli preemiat. Selle sai ta 1922. aastal (1921. aasta preemia) hoopis fotoefekti teooria loomise eest.

Newtoni impulsivalem ja relatiivsusteooria

Ladina keelest tulnud sõna relatiivne otsene eestikeelne vaste on suhteline. Ja selles tähenduses on ka klassikaline ehk Newtoni mehaanika relatiivne. Sest kiirus on suhteline suurus. Alati peab olema mingi taustkeha, mille suhtes kiirust vaadatakse. Kiiruse mõõtmiseks peab taustkeha olema varustatud kella ja kaugusemõõturiga. Sellist taustkeha nimetatakse taustsüsteemiks. Taustsüsteeme, milles kehtib juba meie jutu alguses meelde tuletatud Newtoni esimene ehk inertsiseadus, nimetatakse inertsiaalsüsteemideks. Erinevad inertsiaalsüsteemid liiguvad üksteise suhtes erinevate kiirustega ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Kõik inertsiaalsüsteemid on võrdväärsed ning nendes kehtivad ühed ja samad loodusseadused. Juba tuntud itaallane Galileo Galilei (1564–1642) kirjeldas üksikasjalikult, kuidas laevakajutist välja vaatamata ei saa ühegi mehaanilise katsega kindlaks teha, kas laev on paigal või liigub kalda suhtes ühtlaselt ja sirgjooneliselt: sõltumata sellest, kas laev liigub või seisab, hüpatakse seal nii laeva nina kui ahtri suunas ikka ühepalju, ülesriputatud pudelist tilgub vesi ikka ühte ja samasse kohta, lõkkesuits tõuseb alati otse üles jne. Mehaanilised katsed ei suuda eristada üht inertsiaalsüsteemi teisest. Seda väidet tuntakse kui Galilei relatiivsusprintsiipi. Matemaatiliselt väljendub Galilei printsiip selles, et Newtoni võrrandid ei muutu ühe inertsiaalsüsteemi koordinaatidelt teise inertsiaalsüsteemi koordinaatidele üle minnes. Üleminekuteisendust, mille suhtes võrrandite kujud jäävad samaks, nimetatakse Galilei teisendusteks. Et erinevad inertsiaalsüsteemid liiguvad üksteise suhtes ühtlaselt ja sirgjooneliselt, võib ühe süsteemi (S) koordinaatteljed teise süsteemi (S’) vastavate koordinaatidega paralleelseks võtta ja lasta süsteemil (S’) kulgeda (S) suhtes piki ühist x(x’)-telge kiirusega v. Sel juhul y- ja z-koordinaadid ei teisene ning teisendusvalem (7) on lihtsam. Oluline on, et Galilei teisendustes aeg ei teisene. See on kõikides inertsiaalsüsteemides üks ja sama.

Relatiivsusteooria toetub Einsteini relatiivsusprintsiibile, mille järgi mitte ainult mehaaniliste, vaid ka suvaliste teiste, optiliste, elektriliste ja muude katsetega pole võimalik inertsiaalsüsteeme eristada. Matemaatiliseks väljenduseks Einsteini printsiibile on võrrandite samakujuliseks jäämise nõue Lorentzi teisenduse (8) suhtes. Lorentzi teisendustes kohtume jälle meile juba tuttava teguriga γ. Siit tulebki tema nimetamine Lorentzi teguriks. Galilei ja Lorentzi teisenduste põhierinevuseks on see, et viimases teiseneb ka aeg. Lorentzi teisendused näitavad aja ja ruumi suhtelisust: ruum muutub siin ajaks ja aeg ruumiks. Siit on lihtne tuletada ka eespool möödaminnes mainitud aja aeglustumise ja pikkuste lühenemise valemeid. Aga meil on teine eesmärk. Pärast pikka ettevalmistavat sissejuhatust oleme saanud nii targaks, et peame võimalikuks alustada uurimist, kas ja kui jah, siis kuidas tuleb muuta Newtoni impulsivalemit relatiivsusteoorias.

Newtoni impulsivalem defineerib impulsi ehk liikumishulga keha massi m ja kiiruse korrutisena (9). Valem ütleb, et impulss on võrdeline kiirusega. Võrdetegur – mass – on siin keha inertsuse näitaja rollis. Võib näidata, et selline impulsi määratlus on kooskõlas Galilei teisendustega, Lorentzi teisendustega aga mitte. Valem ei ole kooskõlas ka katsega. Impulssi saab katsest otseselt mõõta ja seda tehakse juba alates läinud sajandi esimese kümnendi lõpust. Kui lasta elektrilaenguga osake, näiteks elektron homogeensesse magnetvälja risti välja jõujoontega, kaldub osake otseteest kõrvale ja hakkab liikuma mööda ringjoone kaart. Ühtlase kiirusega liikuva keha hoidmiseks ringorbiidil peab kehale mõjuma tema liikumissuunaga alati risti olev, orbiidi tsentri poole suunatud konstantse suurusega jõud F. Jõud peab olema seda suurem, mida suuremad on keha mass ja kiirus. Teisalt läheb suurema raadiusega R orbiidi korral vaja väiksemat jõudu. Sest siis tuleb keha liikumissuunda vähem kallutada. Selliste omadustega jõud on juba koolimehaanikast tuttav tsentripetaal- ehk kesktõmbejõud (10). Kõne all olevas probleemis on osakese liikumisteed kallutavaks jõuks Lorentzi magnetjõud, mis on määratud magnetvälja tugevuse B ning osakese laengu q ja kiiruse v korrutisega (11). Võrrutades tsentripetaal- ja magnetjõu avaldised ning kasutades impulsi valemit (9), võib näidata, et Newtoni impulss võrdub magnetvälja tugevuse, osakese laengu ja tema liikumisorbiidi raadiuse korrutisega (12). Et magnetvälja tugevus ja osakese elektrilaeng on teada, annab osakese liikumiskõvera raadiuse mõõtmine otseselt tema impulsi. Katsed näitavad, et aeglaste elektronide korral langevad katseandmed Newtoni impulsivalemiga (9) kokku, suurte kiiruste korral aga mitte. Siis kasvab impulss mitte võrdeliselt kiirusega, vaid palju nobedamini. Ja hoopis järsult siis, kui elektroni kiirused jõuavad valguse kiiruse vahetusse lähedusse. Katseandmed on kooskõlas impulsivalemiga, mis saadakse Newtoni valemi parema poole korrutamisel Lorentzi teguriga (13). Nii et Newtoni impulsivalemit tuleb relatiivsusteoorias kohendada, ja kohendada Lorentzi teguri lisamisega. Mida teevad nüüd teadlased? Kuidas põhjendavad nad γ-teguri sissetoomist? Et mitte muuta Newtoni valemi väliskuju, tõlgendavad nad massi m Newtoni valemis seisumassina m₀. Seisumassi ja Lorentzi kordaja korrutis on siis relatiivne, kiirusest sõltuv mass (3). Selle trikiga säilitatakse Newtoni impulsivalemi kuju ka relatiivsusteoorias, kaotatakse aga jälle massi kui keha sisemise omaduse mõiste.

Aga on ka teine võimalus Newtoni impulsivalemi kohandamiseks relatiivsusteooriale. Võimalus siduda Lorentzi tegur valemis (13) mitte massi, vaid kiirusega. Kiirus teadagi on läbitud teepikkuse (suunatud lõik ) jagatis läbimiseks kulunud ajaga (14). Aga nii on see ühtlase kiirusega liikuva vaba keha korral, kus läbitud teepikkust võib mõõta suurte ajavahemike jooksul. Kui kehale mõjuvad jõud, liigub ta ebaühtlaselt, kulutades võrdse pikkusega teelõikude läbimiseks erinevaid ajavahemikke. Et mõõta keha kiirust väga väikestel teelõikudel , tuleb mõõta keha edasiliikumist väga väikestel ajavahemikel . Kui minna piirile , saame hetkekiiruse (kiiruse ajahetkel t) (15). Matemaatika oskussõnade järgi on hetkekiirus teepikkuse tuletis aja järgi. Tuletise võtmist kutsutakse diferentseerimiseks.

Aga nüüd on tulnud aeg jälle küsida. Mis aeg on kiirusvalemite nimetajas? Kui see on seisva vaatleja kellaga mõõdetud aeg, nimetatakse seda koordinaatajaks, ka tavaajaks. Ja kiirust koordinaat- või tavakiiruseks. Aga relatiivsusteoorias on veel teine aeg – omaaeg. Seda näitab liikuva kehaga kaasaliikuv kell. Kui kiirusvalemis on omaaeg, nimetatakse kiirust omakiiruseks. Omakiirus on hübriidsuurus, kus läbitud teelõigu pikkust mõõdetakse ühes, vaatleja suhtes liikumatus taustsüsteemis, läbimisaega aga läbijaga seotud taustsüsteemis. Seetõttu võib omakiiruse mõiste võõristavana näida. Kuigi kasutatakse teda igapäevaelus tihti. Kui kuhugi kiirustame, mõõdame läbitud teed teeäärsete kilomeetripostide järgi, selleks kulutatud aega aga vaatame kas oma uurilt või autokellalt. Et meie kiirust ei anna valguse omaga võrreldagi, on siin tava- ja omakiiruse vahe kujutlematult väike ja mõõdetamatu. Aga põhimõtteline küll. Omaaeg on tavaajaga seotud Lorentzi teisenduste, seega jälle Lorentzi teguri kaudu (16). Siit tuleneb seos omakiiruse ja tavakiiruse vahel (17). Et γ on suurem kui 1, on omakiirus suurem kui tavakiirus. Tema kasv tavakiiruse suurenemisel on täpselt sama kui eespooltoodud relatiivse massi oma. Erinevalt tavakiirusest pole omakiirusel seepärast piirangut: kui tavakiirus kasvab, kasvab omakiirus tõkestamata ja muutub tavakiiruse piirväärtusel ehk valguse kiirusel lõpmata suureks. Omakiiruse kasutamisel jääb mass Newtoni valemis ka relatiivsusteoorias invariantseks ja väljendab keha sisemist omadust. Samuti kui relatiivse massi korral, võib valemit anda Newtoni kujus. Ainult et omakiirusega tavakiiruse asemel. Kumb tee on õigem? Kas minek Newtoni massilt relatiivsele massile või tavakiiruselt omakiirusele. Näitame, et relatiivsusteooria geomeetrilise käsitluse seisukohalt on eelistatavam teine tee.

Mass ja geomeetria

Aja ja ruumi suhtelisus, nende muutumine teineteiseks Lorentzi teisendustel viib Saksamaal töötava matemaatiku ja füüsiku Hermann Minkowski (1864–1909) mõned aastad pärast relatiivsusteooria sündi mõttele võtta uues teoorias kasutusele neljamõõtmeline ruum, kus kolmele ruumikoordinaadile lisandub ajakoordinaat. Neljamõõtmelises kirjeldamises on otstarbekas viia koordinaadid “ühisele nimetajale”: teha nad kõik ühe ja sama dimensiooniliseks. Selleks korrutatakse ajakoordinaati valguse kiirusega. Saadud uus ajakoordinaat ct on nüüd nagu kolm ruumikoordinaatigi pikkuse dimensiooniga, mis tähendab, et ka aega mõõdetakse pikkusega. Vastupidine on tuntud astronoomiast, kus kosmilisi kaugusi mõõdetakse valgusaastates.

Minkowski neljamõõtmelise aegruumi kasutamisega muutub relatiivsusteooria geomeetriliseks teooriaks, kus väga tähtsat rolli mängivad neljakomponendilised vektorid. Nende prototüübiks on koha- ehk nihkevektor Lorentzi teisendustele vastab koordinaattelgede pööramine Minkowski ruumis. Vektori koordinaadid muutuvad, kuid nagu pööretel kolmruumis ei muutu kolmvektori ruut, ei muutu Lorentzi teisendustel ka nelivektori ruut. Erinevalt eukleidilisest kolmruumist, kus vektori ruut võrdub tema komponentide ruutude summaga, on Minkowski ruum pseudoeukleidiline ning siin on vektori ruudu valemis ajakoordinaadi ruudu ja ruumikoordinaatide ruutude ees erinevad märgid. Seetõttu võib nihkevektori ruut olla kas positiivne, negatiivne või võrduda nulliga. Kuid see ei muuda vektori ruudu invariantsust. Lorentzi teisendustel jääb ta muutumatuks. Nihkevektor on Lorentzi vektor. Nihkevektorit omaaja järgi diferentseerides saadakse omakiiruse nelivektor (19). Kuna omaaeg on Lorentzi teisenduste suhtes invariantne, on ka omakiiruse nelivektor Lorentzi vektor. Kui korrutada omakiiruse nelivektor massiga, saadakse impulsi nelivektor (neli-impulss) (20). Et impulsi nelivektor oleks Lorentzi vektor, peab mass Lorentzi teisenduste suhtes olema invariantne ehk teisisõnu, meile tuttav invariantne mass. On üsna lihtne näidata, et invariantse massi korral on neli-impulsi ruut konstantne suurus m²c² (21), mis kinnitab ka, et neli-impulss on Lorentzi vektor. Kuna koguenergiat E saab anda valemiga (22) (valem (4) ilma mittevajaliku nullikeseta massi juures), saab impulsi nelivektorit esitada energia ja kolm-impulsi kaudu (23). Sellisena kutsutakse teda energia-impulsi nelivektoriks. Neli-impulsi ruut annab nüüd tuntud ja tähtsa seose energia, kolmimpulsi ja massi vahel (24). Seos ütleb, et mass on antud energia-impulsi nelivektori ruuduga.

Relatiivse massi korral sarnast geomeetrilist relatiivsusteooriat järjekindlalt arendada ei saa. Diferentseerides nihke nelivektorit tavaaja järgi, saab neljakomponendilise suuruse, mida võiks nimetada tavanelikiiruseks. Kuid see ei ole Lorentzi vektor. Sellepärast, et tavaaeg muutub Lorentzi teisendustel ja rikub sellega tavakiirusvektori Lorentzi-loomuse. Mida teha? Üks tee on korrutada seda mitte-Lorentzi nelikiirust relatiivse massiga ja saada sama neli-impulss, mis invariantse massi teoorias. Aga mis teooria see on, kus üks vajalik neljakomponendiline suurus ei ole vektor ja teine on. Ja veel. Nelivektorid tulevad teooriasse ainult tänu aegruumi kinemaatilistele omadustele – sümmeetriatele. Relatiivne mass rikub relatiivsusteooria kinemaatilist loomust. Relatiivse massi kasutamisega öeldakse, et aegruum pole küllalt sümmeetriline ja pannakse massile aeg-ruumi “ebasümmeetria” parandaja roll. Nähtavasti ülalkirjeldatud meetodi “ülekohtust” aegruumi suhtes tegutseb suur osa relativiste teisiti. Nad tuletavad neli-impulsi täpselt samuti nagu tehakse invariantse massi teoorias: diferentseerivad nihkevektorit omaaja järgi ja korrutavad saadud Lorentzi nelikiirusvektori invariantse massiga (mis nende jaoks on seisumass m₀). Saadud neli-impulsi avaldises võtavad nad aga omakiiruselt γ -teguri ja kingivad selle seisumassile. Ja viimane muutub koos γ -ga relatiivseks massiks. Aga jälle! Just kiirus kui pikkuse ja aja suhe on seotud aegruumi sümmeetriaga, mitte mass. Piltlikult öeldes on siin röövitud kiiruselt elukaaslane, γ -tegur, ja sunnitud teda kokku elama massiga. Aga see on kooselu sobimatute poolte vahel. Newtoni massi relativistlik moderniseerimine, tema muutmine kiirusest sõltuvaks, viib vastuollu relatiivsusteooria enese esialgsest modernsema, geomeetrilise käsitlusega. Sellele, invariantse massi pooldajate põhilisele füüsikalis-matemaatilisele argumendile pole vastaspoolel samaväärseid vastuargumente õnnestunud leida. Ja vaidlused on põhiliselt nihkunud pedagoogilisele pinnale.

Siin veel probleeme jätkub. Ja ka neid hakkame vaatama. Aga enne veel püüame vastata ühele võib-olla et ka juba lugeja keelele tulnud küsimusele. Kas üldse mingit kahe massi probleemi ongi? Kõik on siin ju kinni sõnastuses. Massi võib defineerida nii- ja naapidi. Erinevad on matemaatilised formalismid. Aga valemid, millest tulenevad mõõdetavad efektid, on mõlemal juhul sisuliselt samad. Nii et eksperiment siin ühe kontseptsiooni õigsust ja teise vigasust näidata ei saa. Milleks siis vaielda?

Invariantse massi pooldajad väidavad, et päris nii see siiski ei ole. Küsimus on selles, kas defineeritud suurus täidab teoorias fundamentaalset, teooriaga orgaaniliselt seotud rolli, on hädavajalik, ilma milleta läbi ei saa ja mida kasutavad ka teised arenevad teadussuunad. Selline on invariantne mass. Või on defineeritud suurus tehislik, pole teooriaga orgaaniliselt seotud. Pigem lõhub seda. Ilma temata saab läbi, sest on ammu enne olemas sellega ekvivalentne suurus. Seda ei kasuta ka arenevad modernsed teadusharud. Säärane on relatiivne mass. Kumba eelistada? Kas on siin õige koht meenutada Austraalia kirjaniku Alan Marshalli (1902–1884) tuntud raamatust motona toodud lauselõiku, mis ütleb, et suur osa asju, mis pole küll valed, ei pruugi olla ka päris õiged?

Mass ja pedagoogika

Pisut enam kui 20 aastat tagasi, pärast esimest õppepäeva keskkoolis, küsib üks Ameerika koolipoiss isalt: “Paps, kas mass tõepoolest sõltub kiirusest?” Poiss ootab isalt, filosoofiadoktorilt tuumafüüsika alal, Ida-Carolina Ülikooli õppeprofessorilt Carl G. Adlerilt kahtlemata selget ja autoriteetset vastust. Aga isa vastab: “Ei! Noh, sõltub … Tegelikult ei sõltu, aga ära seda õpetajale ütle.” Pärast isa sellist hämamist arvab poeg, et eks see füüsika ikka üks segane asi ole. Ja loobub järgmisest päevast füüsikaõpingutest. Aga poja küsimus ja otsus füüsika õppimisest loobuda ärgitavad papa Adlerit kirjutama kiirusest sõltuva massi mõistet kritiseerivat artiklit. Kirjatöö, mille pealkirjaks on poja küsimus, ilmub 1987. aastal ajakirjas American Journal of Physics. Artiklist selgub tollane olukord Ameerika koolides ja ülikoolides. Mitte ainult erinevates ülikoolides ei käsitleta massi erinevalt, vaid ka suuremate ülikoolide ja kolledžite erinevates osakondades õpetatakse ühes relatiivsest, teises invariantsest massist lähtudes. Kui teaduses on nimetatud ajaks relatiivne mass pea täielikult välja tõrjutud, siis pedagoogikast ja aimekirjandusest mitte. Need on teadusest palju inertsemad ega lase oma olekut nii kergesti muuta. Sellest siis ka isa ebalev vastus.

Kaks aastat hiljem sekundeerib Adlerile tuntud elementaarosakeste füüsik Lev Okun Moskvast kahe artikliga. Ka need ilmuvad soliidsetes ajakirjades. Esimene, ingliskeelne, ajakirjas Physics Today, teine, venekeelne, ajakirjas Uspehhi Fizitšeskihh Nauk. Adleri ja Okuni artiklid muudavadki seni tasakaaluka diskussiooni selliseks, et me julgesime seda eespool nimetada sõnasõjaks. Eriti ajab vastaspoole harja punaseks Okuni apologeetiline kategooriline stiil, mis nõuab väära ja õppetöös vaid segadusi tekitava kiirusest sõltuva massi mõiste kohest peatamist. Aga relatiivset massi pedagoogiliselt seisukohalt kritiseerides valivad nii Okun kui Adler sõnasõjaks vastaste poolt valitud lahinguvälja. Mille eest oli omal ajal Napoleon väejuhte hoiatanud. Ja satuvad ise rünnaku alla. Relativistid ütlevad, et nende massi mõiste on sümmeetriline, ilus ja lihtsalt arusaadav. Ja lihtne ka õppetöös kasutada. Sest ta on Newtoni mehaanikale lähemal kui enam matemaatiline Minkowski formalism, mis lükkab relatiivsusteooria mõisted õppijatele senistest kogemustest kaugemale. Aga ka geomeetriat kasutamata on invariantse massiga õpetamine vaevalisem. Vaadaku vastaspool, kui palju neil tuleb liita masse ja energiaid, et seletada kiirendiprotsesse. Ja ilma relatiivse massita on väga raske, kui mitte võimatu selgitada, miks on osakesi väga raske kiirendada, kui nende kiirus on jõudnud valguse kiirusele väga lähedale. Aga kui lihtne on see relativistide käes: “Väga suurte kiirusteni jõudnud osakese edasine kiirendamine on raske, sest osakese mass on kasvanud väga suureks.”

Selle kriitika peale kostavad invariantlased, et just Minkowski teooriaga õpetamine on arusaadavam ja segadusi vältiv. Kui Minkowski meetod on omandatud, näeb paljusid asju lihtsamini kui relatiivsusteooria esialgses, mehaanilises variandis. Tuntud Hollandis sündinud USA teooriafüüsik ja teadusajaloolane Abraham Pais (1918–2 000) nimetab geomeetrilist meetodit suureks formaalseks lihtsustajaks. Aga et teadus igapäevapraktikast kaugenedes üha enam matematiseerub, et matemaatika uueneb ja ka mõisted ei saa enam olla seniste kogemuste küljes kinni, on paratamatu. Uued, arenevad teadusharud vajavad nii uut matemaatikat kui uusi mõisteid.

Vastuse relativistide kriitikale invariantlaste vaevadest kiirendamisraskuste selgitamisel annab oma artiklis Adler. Ta ütleb: see, et kiireid osakesi on raskem kiirendada kui aeglasi, on illusioon, mis tuleb aja aeglustumisest ehk dilatatsioonist. Seisva vaatleja kella järgi läheb kiiresti liikuvale kehale rakendatud jõul enam aega kiiruse tõstmiseks kui sama suureks tõstmiseks aeglaste kehade korral. Sest liikuva keha kell käib seda aeglasemalt, mida kiiremini liigub keha. Kui mõõta aega liikuva keha kella järgi, tekitab sama jõud sama aja jooksul alati sama efekti. Ja mingit kiirendamisraskust suurtel kiirustel ei ole.

Seletus on kahtlemata mõtlemist nõudvam kui kiirusest sõltuvale massile toetuv. Aga miks ei peaks õppur mõtlema? Teine võimalus on lähtuda eespool osundatud Einsteini soovitusest. Et suure kiirusega liikuvate kehade inertsiaalse käitumise seletamisel tuleks kasutada energia või impulsi valemit ((22) või (13)). Need valemid näitavad, et osakeste suurte kiiruste kasvatamiseks kas või tühise murdosa võrra protsendist, tuleb kordades suurendada osakeste energiat ja impulssi. Ja küsimusele, miks on suurte kiirusteni jõudnud osakesi väga raske kiirendada, võib anda lihtsa vastuse: “ Suurte kiirusteni jõudnud osakeste edasine kiirendamine on raske, sest selleks on vaja väga palju energiat.”

Relatiivse massi pooldajad rõhutavad veel vanade tuntud arusaamade suurt tähtsust õppetöös. Selliste, nagu seda on Einsteini kuulus valem massi ja energia täieliku ekvivalentsuse näitajana. Sellised arusaamad on õpilastele-üliõpilastele kas aimekirjandusest või kusagilt mujalt pähe kulunud ja on kasulikud pidepunktid relatiivsusteooria õpetamisel.

Relatiivse massi kaitsjatest õppetöös on vahest tuntuim Inglismaalt pärit USA professor Wolfgang Rindler (1924), korduvalt täiendatud ja parandatud trükkidena välja antud populaarsete eri- ja üldrelatiivsusteooria õpperaamatute autor. Tema arvates on kiirusest sõltuv mass õppetöös asendamatu heuristiline mõiste. Ja seda mitte kasutada on sama kui sõita autoga sidurit kasutamata või kirjutada romaan ilma e-tähte tarvitamata (üks veidrik on sellise, 50 000 sõnaga romaani kirjutanud). Tema aga tahab õpetades ikka vajalikku sidurit ja e-tähte kasutada. Aga, nagu vastab Rindlerile Okun, fakt on, et juhtivate füüsika ajakirjade, nagu Physical Review, Physical Review Letters, Physics Letters jt artiklites relatiivse massi mõistet ei kasutata. Kas need ajakirjad on sidurita autod?

Loomulikult on korduvate väljaannetena ilmuvate õpperaamatute lugupeetud ja tunnustatud autoritel raske tunnistada, et seni kasutatud mõisted pole olnud mõnest seisukohast kõige õigemad. Raske on ka loobuda aastaid sisse tallatud õpetamisradadest. Aga enamik on seda suutnud ja oma raamatute hilisemates kordustrükkides juba invariantse massi kontseptsioonist lähtunud. Võib väita, et nii paari viimase aastakümne jooksul ilmunud õpperaamatute kordustrükkides kui ka uutes raamatutes lähtutakse valdavalt invariantsest massist. Ent leidub ka teisitimõtlejaid, nagu Rindler. Kuigi teaduskirjandusest on relatiivne mass välja trügitud, peab see nende arvates säilima pedagoogikas. Sest relatiivne mass on “pedagoogiline” mass. Okun nimetab aga relatiivset massi hoopis pedagoogiliseks viiruseks, mis ikka ja jälle nakatab uute põlvkondade professoreid ja tudengeid. Ning kutsub selle viiruse tõrjumiseks tõsist tööd tegema.

Ja loo lõpuks. Missugust elu elavad kaks massi Maarjamaal? Sirvides taasiseseisvunud Eesti Vabariigi ajal välja antud (muidu) tõesti suurepäraseid kesk- ja kõrgkoolidele mõeldud õpperaamatuid, leiame neist vaid vana hea relatiivse massi. Ja ega see ime ole. Nii on õpetatud nende raamatute autoreid. Nii on õpetatud raamatute autorite õpetajaid. Pedagoogiline viirus töötab. Päris “sündimata” invariantne mass meil ka pole. Viimasel ajal üliõpilastele loetud elementaarosakeste füüsika kursustel, kus on kasutatud rahvusvaheliselt levinud populaarseid õpperaamatuid, on juba lähtutud ka invariantsest massist. Aga üldiselt oleme pedagoogilises massikäsitluses olnud liialt konservatiivsed ja jäänud ajale jalgu. Tuleb ikka vist teha täispööre ja minna igal poole üle invariantsele massile. Mida rutem, seda etem.

ILMAR OTS(1937) on lõpetanud teooriafüüsikuna Tartu Ülikooli. 1962. aastast töötanud Füüsika Instituudis (praegu TÜ Füüsika Instituut) teaduri, vanemteaduri ja laborijuhatajana. Käesoleval ajal erakorraline vanemteadur. Füüsika-matemaatikakandidaat. Elementaarosakeste füüsik. Põhiuurimused käsitlevad elementaarosakeste spinnidega seotud küsimusi: kõrgemate spinnidega osakeste teooria, osakeste spinnide orientatsioonidega seotud efektid elektronõrga vastastikmõju protsessides ja nende kasutamine praegu kehtiva elementaarosakeste teooria – Standardmudeli – testimisel ja võimaliku uue, Standardmudeli välise füüsika ilmingute tuvastamisel.

Einsteini valem

(1)