H O R I S O N T -- 2 / 1 9 9 8 -- M Ä R T S -


		2 / 1 9 9 8 M Ä R T S
	h o r i s o n t

I N I M E N E

L O O D U S

U N I V E R S U M

Maagiliste ruutude koostamine
JAAN TOMSON

Eelmine kord rääkisime maagilistest ruutudest üldse. Seekord näitame mõningaid võimalusi nende koostamiseks. Uute nippide leidmine peaks huvi pakkuma eeskätt neile, kel meeldib otsida lahendusi mitmesugustele probleemidele (seejuures ka matemaatikaga seonduvatele).

Üks sobivamaid on moodulmeetod, eriti paarisarvulist järku (nn. paarisjärku) maagiliste ruutude (edaspidi MR) puhul. Paarisjärku MR koostamine on mõneti erinev neljaga jaguva järgu, nn. neljase järgu ning kahega jaguva järgu, nn. kahese järgu puhul.

Et neljase järgu MR korral moodulmeetodi kasutamine teataval määral lihtsustub, võrreldes selle meetodi rakendamisega kahest järku MR koostamisel, siis alustame sellest.

Näitena vaatleme moodulmeetodi olemust ja rakendamist konkreetse ülesande, nimelt kaheksandat järku MR (maagiline konstant s = 260) koostamiseks.

Esimene toiming.

Maagilise ruudu arvudest (1....64) moodustatakse arvupaarid ja saadakse nn. kivide järjestus (joonis 1). Nimetame neid arvupaare kivideks (analoogia tõttu doominokividega). Kõikidel kividel on arvupaari summa ühesugune, s.o. 65. Paigutades 4 kivi otsakuti, saame summaks maagilise konstandi s = 260, ja ühtlasi moodustub niiviisi MR rida.

Teine toiming.
Kividest moodustatakse moodulid (kaksikkivid) joonisel 2 näidatud viisil. Mooduli ühe otsa (nimetame seda elemendiks) arvude summa on 64 (näit. 1 + 63 või 3 + 61 jne.) ja sama mooduli teise elemendi arvude summa on 66 (näit. 64 + 2 või 34 + 32 jne.).

[ joonis 2 ]

Ühe mooduli elementide summa on 130. Kui mooduli parempoolse elemendi väärtus on 66, siis nimetame seda moodulit paremorienteeritud mooduliks, ning vasemorienteeritud mooduliks siis, kui vasempoolse elemendi väärtus on 66.

Kolmas toiming.
Neljast suvaliselt võetud moodulist moodustatakse vertikaalne tulp, millega määratakse MR 2 veergu. Joonisel 3 on tulbad (neid on neli) eraldatud üksteisest tugevate joontega.

Moodulite vastastikune paiknemine tulbas on suvaline (välja arvatud diagonaalide moodulid); oluline on ainult see, et tulbas oleks kaks paremorienteeritud ja kaks vasemorienteeritud moodulit. Olgu märgitud, et vajadusel saab ühtepidi orienteeritud moodulist teisiti orienteeritud mooduli, kui selle elemendid omavahel ümber paigutada.

[ joonis 3 ]

Tulpade vastastikune paiknemine maagilises ruudus on suvaline. Tulpasid võib üksikult või mitmekesi koos pöörata ümber horisontaaltelje 180°. Mooduleid võib vastastikku ümber paigutada kogu MR ulatuses. Moodulis võib omavahel vahetada kivide paiknemise. Loetletud operatsioonide käigus ei rikne mooduli esialgne struktuur, s.t. kivide ja elementide väärtused säilivad. Peale nimetatute on veel rida operatsioone, mille teostamisel rikneb osalevate moodulite struktuur, näit. MR ridade või veergude ümberpaigutamisel. Pärast neid operatsioone ei saa mooduleid kogu ruudu ulatuses teisaldada.

Äsja loetletud võtted võimaldavad moodustada ääretul hulgal erinevaid MR variante.

Neljas toiming.
Määratakse MR diagonaalid, mis võib toimuda kahel viisil: 1. Moodustatakse ja paigaldatakse ruudu tulbad ning seejärel asendatakse vajadusel osa diagonaali mooduleid diagonaaliväliste moodulitega - selleks, et saavutada diagonaali nõutavat väärtust. Samal otstarbel võib tulbasiseselt kivisid ümber paigutada. Seejuures rikneb osalevate moodulite esialgne struktuur ja neid ei saa enam suvaliselt ümber tõsta teistesse tulpadesse. Riknenud struktuuriga mooduli teisaldamine mõnda teise tulpa on võimalik, kui vahetatakse omavahel kaks ühtemoodi rikutud moodulit (vastavad elemendid on neil võrdväärsed), näit. võib vahetada omavahel esimese tulba kividepaari (rikutud moodul)

ja neljanda tulba kividepaari

.
Kui vahetusse läheb diagonaalil paiknev moodul või kivi, siis tuleb see diagonaal uuesti määrata.

Eelnevast saab järeldada, et kivide ja rikutud moodulite ümberpaigutamisega on võimalik koostada suurel hulgal uusi erinevaid maagilisi ruute.

Teisel viisil alustatakse maagilise ruudu koostamist diagonaalide määramisest (mitte vertikaalsete tulpade moodustamisest), s.t. esimeses järjekorras paigutatakse kohale diagonaalidega seonduvad moodulid ja seejärel ülejäänud moodulid.

Selle menetluse kohaselt moodustatakse diagonaal arvude jadast (ka jadadest); see on diagonaali nn. jadakomplekteerimine.

Jada on kõige otstarbekam moodustada arvudest, mis paiknevad kivide järjestuse lõpu-osas. Sel juhul kujuneb jada summa erinevus nõutavast väärtusest (maagilise konstandi väärtus) väikeseks ja seda saab hõlpsalt kompenseerida.

Jada summa leitakse üldtuntud aritmeetilise progressiooni summa valemi abil :

kus a₁ on jada esimene liige ja a_n - viimane liige ning n - jada liikmete arv.

Joonisel 4 näidatud kaheksandat järku MR diagonaalid (tugevalt trükitud arvud) on määratud jadakomplekteerimise menetluse järgi.

Selle ruudu esimese diagonaali võib komplekteerida joonisel 1 esitatud järjestuse kaheksat viimast kivi kasutades nii, et moodustub arvude jada 33 + 34 + ... + 40. Sellel juhtumil diagonaali väärtus (292) on nõutavast väärtusest (260) suurem 32 võrra ja see tuleb kompenseerida.Üks lihtsamaid võimalusi selleks on - asendada diagonaali esimene moodul

mooduliga

Teine diagonaal on komplekteeritud kahesT jadast: 21 + ... + 24 ja 45 + ... + 48; nende summa on 276, mille erinevus nõutavast on 16. Kompenseerimiseks võib asendada diagonaali esimese mooduli

mooduliga

.

Arusaadavalt võib diagonaali nõutava väärtuse saavutamiseks asendada ka diagonaali teisi mooduleid teiste sobivate diagonaaliväliste moodulitega.

Diagonaali ladusama komplekteerimise huvides võib diagonaali teatava mooduli kivi või elemendi asendada kiviga või elemendiga mõnest teisest moodulist. Seejuures tuleb tagada, et see "teine moodul" (rikutud moodul) satuks hiljem ruudu koostamisel ülalmainitud "teatava mooduli" asukoha tulba koosseisu.

Ja veel: diagonaalide komplekteerimine ei pea toimuma kaugeltki ainult joonisel 4 näidatud moodulite baasil.

Eelnevast saab teha olulise järelduse. Kui MR koostamiseks kasutatakse moodulmeetodit, siis on ruut sisuliselt juba komplekteeritud, kui on komplekteeritud tema diagonaalid.

Kasutades diagonaalide jada komplekteerimist, võib MR lahendada nii, et ruudu koosseisu kuuluvaid arve ruutu ei kantagi. Näiteks, olgu vaja moodustada 20 x 20 MR (koosneb arvudest 1 ... 400 ja maagiline konstant s = 4010). Ühe diagonaali võib komplekteerida jadana 201 + 202 + ... + 220 ja teise diagonaali jadana 221 + 222 + ... + 240 (kõik need arvud on kivide järjestuse lõpuosast). Esimese jada summa on 4210, s.o. 200 võrra suurem nõutavast. Selle kompenseerimiseks võib asendada diagonaali esimese mooduli

mooduliga

.

Teise jada summa on 4610, mis on 600 võrra suurem nõutavast. Kompenseerimine võib toimuda kahe esimese mooduli asendamisega, kasutades eelnevaga analoogilist võtet.

Ja ongi diagonaalid komplekteeritud ning ühtlasi on sisuliselt komplekteeritud MR tervikuna. Järgnevalt tuleb diagonaale määravate arvude ümber komplekteerida vastavad moodulid ja seejärel moodustada ülejäänud moodulid. Viimatimainitud moodulid võib teatavasti paigutada MR vabadele kohtadele täiesti suvaliselt, tuleb ainult jälgida, et tulbas oleks võrdne arv vastasoreinteeritud mooduleid. See on rutiinne (ajuvaba) tegevus, kus moodustatavate moodulite üle kivide järjestuse (8x8 MR jaoks on joonisel 1) kaudu kontrolli teostades paigutatakse need moodulid MR suvalistele kohtadele.

Viies toiming.
Nimetame horisontaaltulbaks MRI kaht kõrvuti asetsevat rida, näit. esimese horisontaaltulba moodustavad 1. ja 2. rida; teise horisontaaltulba - 3. ja 4. rida jne. Horisontaaltulbas võib teha elementide ümberpaigutusi, asendades omavahel moodulite sama väärtusega elemente, näit. esimese horisontaaltulba elemendi

võib asendada elementidega

;

või

. (Joonis 3)

Arusaadavalt kaasneb operatsiooniga seonduvate moodulite riknemine ja neid ei saa enam kogu ruudu ulatuses suvaliselt ümber paigutada kolmanda toimingu reeglite järgi. Viienda toimingu tulemusena lisandub suur hulk MRI uusi variante.

Kuues toiming.
Olgu vaja paigutada mõne horisontaaltulba teatava mooduli vasem- või paremelementi mingi teise horisontaaltulba soovitavasse moodulisse. Siis tuleb see "teatav moodul" oma asukoha vertikaaltulbas ümber paigutada nii, et ta satuks soovitava mooduli asukoha horisontaaltulba koosseisu. Edasi tuleb talitada viienda toimingu kohaselt. See võimaldab saada veel suure hulga MRI uusi variante.

Moodulmeetodi ülalkäsitletud toiminguid saab edukalt rakendada kõigi neljase järguga MRi koostamiseks.

tagasi ...

Horisondi e-post - horisont@datanet.ee